1.1 加窗傅立叶变换
1.1.1 傅立叶变换的不足：
傅立叶变换有一个缺点：它不具有时间局部性。这点可从傅立叶正/反变换的公式中看出，
， （2-1）
式（2-1）中的积分区间为，即整个时间轴或频率轴。因此要想获取信号的频域信息必须知道信号在时域的全部分布；同理，要想恢复信号的时域波形，也必须知道信号频域的全部信息。信号进行傅立叶变换后得到频谱能够表明信号所含的频率成分，但无法表明该频率发生的时刻，这使得傅立叶变换在分析非平稳信号时具有局限性。
可通过下例具体说明：图1-1为一在不同时间内频率不同的正弦信号的时域波形和信号的频谱图，该信号在内为2,内为4, 内为8,内为16。图1-2为另一信号的时域波形和信号的频谱图，该信号在内为4个正弦信号的叠加，正弦信号的频率分别为2，4，8，16。
图1-1不同时间段内所含频率成分不同
图1-2任意时间段含有4种频率成分
从图1-1和图1-2可以看出，两信号在时域相差很大，但在频域上差别并不是非常明显，均在2，4，8，16处能量较强，而在其他频率处能量较低。仅从两者的频谱图，我们无法判断出信号的时域波形。
对于上例所示的简单信号，傅立叶变换都具有一定的局限性，更别说对于一些更为一般的信号了，如我们想分析一些音乐片段所包含的频率时，对信号做了傅立叶变换，得到了频谱，但从频谱上我们并不能判断出高频出现在什么时刻，低频出现在什么时刻，得到的频谱并不明显，在这种情况下，傅立叶变换的实际意义不大。
1.1.2 加窗傅立叶变换的定义
加窗傅立叶变换（WFT：Windowed Fourier Transform）也称短时傅立叶（STFT: Short Time Fourier Transform）或窗口傅立叶变换，是用一个在时间上有一定宽度的窗函数在时间轴上平移，并和待分析的信号相乘，然后再用傅立叶变换对相乘信号进行分析，得到该时刻附近对应信号的频谱。
WFT的实现过程如下：
（1-2） 实现过程也可用图1-3所示：信号与窗相乘（仅在内有非零值），得到一个仅在区间内有值的函数，对做FT，得到一个反映信号在区间内频谱的函数。沿时间轴做上述变换便可得到信号的WFT。
图1-3 加窗傅立叶变换示意图
若选为矩形窗分别对图1-1和图1-2中两信号进行WFT，所得结果如图1-4和图1-5所示：
(a)窗函数 (b)加窗傅立叶变换 (c)加窗傅立叶变换
结果的幅度图 结果的俯视图
图1-4加窗傅立叶变换（图2-1中信号）
(a)窗函数 (b)加窗傅立叶变换 (c)加窗傅立叶变换
结果的幅度图 结果的俯视图
图1-5加窗傅立叶变换（图1-2中信号）
图1-4和图1-5中(a)图为窗函数的波形，(b)图为WFT结果的幅度图（两坐标分别为时间和频率），(c)图为WFT结果的俯视图。
从图1-4可以看出:4个不同时间段内，信号的能量在频域的分布不同：时间内信号能量集中在2附近，时间内信号能量集中在4附近，时间内信号能量集中在8附近，时间内信号能量集中在16附近。
从图1-5可以看出:在的任意时间段内，信号都主要有4个频率成分，分别为2，4，8，16。
图1-4和图1-5的结果可以从直观上区分这两种信号，从而体现了WFT的优势。
1.1.3 加窗傅立叶变换的重构
（1-3）
式（1-3）即为WFT的重构公式[4]。
图1-6为一鸟声信号的WFT及其重构的波形和重构的误差，该信号在内，频率从0线性增加至8。
图1-6 鸟声信号的WFT结果和重构
图1-6的上方左图为鸟声信号的波形，上方右图为归一化的窗函数，中间左图为WFT结果的幅度图，中间右图为WFT的时频图，下方左图为重构出来的鸟声信号，下方右图为信号的重构误差。
可以看出，在内信号的频率是线性上升的，重构的鸟声信号波形与原信号在肉眼可观察范围内完全一样，重构误差的模取对数后可以看出重构误差为~数量级，达到计算机的计算误差精度，说明WFT可以进行无差重构，即重构公式（1-3）是正确的。
1.1.4 时频局域化和窗的选取
- 窗宽度的选取
仍以图1-6中的鸟声信号为例通过改变窗的宽度，观察信号进行WFT后时频图的变化。
图1-7是同一个窗函数（矩形窗）在不同宽度时信号WFT的时频图。图1-7的（a），（b），（c），（d），（e），（f）6个子图窗的宽度依次为2s，4s，8s，1.5s，1s，0.5s。从图1-7可以看出：从（a）~（c），随着窗宽度的增加，时频图中频谱逐渐变“宽”，显示的效果逐渐变差；从（d）~（f），随着窗宽度的减小，频谱也是逐渐变“宽”，显示的效果也逐渐变差。
可以看出，只有窗的宽的在一定的范围内时，WFT才能获得较好的显示效果，窗过窄或过宽时频图的显示效果都将变差。
(a) (b) (c)
(d) (e) (f)
图1-7加窗傅立叶变换时频图(—宽度)
上述现象可以用Heisenberg测不准原则解释：
Heisenberg’s uncertainty principle:
设窗函数，且满足，则：
（1-4） 式中：为窗函数的时域宽度（单位为），表征了窗函数的时间分辨率，越小表明时间分辨率越高；为窗函数的频域宽度（单位为），表征了窗函数的频率分辨率，越小表明频率分辨率越高。
Heisenberg测不准原则表明了窗函数时域宽度和频域宽度之积不可能小于某一个定值，即限制了窗函数不可能同时具有很高的时间分辨率和频率分辨率。
图1-7中从（a）~（c）窗的宽度逐渐增加，频域的宽度逐渐减小，频率分辨率逐渐增强，时频图中边界处变清晰了。频谱逐渐变“粗”是因为窗逐渐变宽，时间分辨率逐渐变差。进行WFT时某一时刻做傅立叶变换时，该时刻对应的频率成分应包括以时刻为中心的一段时间内该信号的频率成分。以图1-7(c)为例，窗的宽度为8s，且为对称的，所以做WFT时某时刻的频率组成应包括时间段内信号的频率成分。同理，某时刻的频率成分也会出现在时间内，即某一时刻的频率成分会持续8s（窗的宽度）。
图1-7中从（d）~（f）窗的宽度逐渐减小，时间分辨率逐渐提高，但频率宽度逐渐变宽，频率分辨率逐渐减弱，频谱逐渐变“宽”。边界处变模糊了，有旁瓣出现，且窗的宽度越小，旁瓣现象越明显。
图1-7说明了窗宽度的重要性，在分析信号的时频谱时应兼顾窗函数的时间分辨率和频率分辨率，选择合适的宽度，以获得较高的时频联合分辨率。
本文为原创文章，转载请注明出处！